Propiedades de Orden de los Números Reales

Los número reales son los números que se pueden escribir con notación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los número enteros, positivos y negativos, todos los números fraccionarios y también todos los números irracionales. 
Dicho en otras palabras, los números reales son aquellos que no son imaginarios. No se llaman "reales" porque muestran valores de cosas reales, sino porque representan un valor exacto.
Es  muy útil representar estos números como puntos en una recta llamada recta real, como la siguiente:

Observa como los números de mayor valor se sitúan a la derecha:  Si a<b, entonces el punto que corresponde a b estará a la derecha del punto que corresponde a a. Si por el contrario, a>b, el punto correspondiente a b estará a la izquierda del punto que corresponde a a.

Orden en los números Reales

Dados dos números reales, por ejemplo a y b, se pueden cumplir los siguientes casos:

a > b

a < b

a = b 

Para ordenar un conjunto de números reales, se comparan dichos números y se establecen las relaciones de orden que exitan entre ellos, dichas relaciones serían:

> : Mayor que

< : Menor que

= : Igual que

Propiedades
Los números reales poseen propiedades, para que las cuales deban cumplirse, deben presentar las siguientes condiciones:

Propiedad Reflexiva:

Si a es un número real, se cumple que a"a; entonces se dice que la relación cumple con la propiedad reflexiva.

Ejemplo: "5" "5; ya que "5="5

Propiedad Transitiva:

Si a, b y c son números reales,supongamos que a"b y b"c, la relación cumple con la propiedad transitiva.

Ejemplo: "7" "3" "2 = "7" "2

Propiedad Antisimétrica:

Si a y b son números reales y a"b, no es posible que se dé la relación b"a, entonces decimos que la relación que se cumple es la propiedad antisimétrica.

Ejemplo:  "8" "6 = "6" "8

Propiedad de Dicotomía:

Si a y b son números reales, se cumple que a"b ó b"a. Luego la relación cumple con la propiedad de dicotomía.