Soluciones escolares: febrero 2014

Las desigualdades son expresiones matemáticas que nos indican que una cantidad no tiene el mismo valor que otra. Poseen signos de desigualdad como, los cuales son:
≠    no es igual
<     menor que
>    mayor que
≤    menor o igual que
≥    mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.

Por ejemplo:

x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos: 3 < 4, 4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las Desigualdades.

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo

               2 + x > 16          / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
           2 + x − 2 > 16 − 2
                     x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

           a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
       a • c < b • c
             a > b          / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
        a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

        a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c > b • c
        a > b             / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c < b • c

Ejemplo

                15 – 3 • x ≥ 39                 / −15
                     − 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3
                            x ≤ 24: (−3)
                            x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.

Desigualdad lineal.

Las desigualdades también son llamadas inecuaciones, son idénticas a las ecuaciones pero reemplazando el igual =, por los signos mayor que > o menor que <, o el mayor o igual y menor o igual, de ahí su nombre desigualdades.
Son lineales cuando la incógnita o variable (Mayormente representada por una "x") esta elevada a la 1.

Ejemplo:

a) 3 x – 2 < 1

Despejando

3x – 2 < 1

3 x < 1 + 2

3 x < 3

x < 3 : 3

x < 1

Aplicando propiedades

3 x – 2 < 1

3 x – 2 + 2 < 1 + 2

1/ 3 3x < 3 1/3

x < 1

Solución: S = ( - ∞ , 1 )

Desigualdad Cuadrática

Una desigualdad se llama cuadrática si tiene alguna de las formas siguientes:

Con $a\neq 0$ .

Una primera simplificación que podemos hacer es suponer que

, pues en caso contrario, multiplicando la desigualdad por

, esta se transforma en otra desigualdad cuadrática con

Se presentan dos casos

Caso 1 Si $b^{2}-4ac\geq 0$ .

En este caso la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ tiene raíces reales $r_{1}$ y $r_{2}$ , podemos factorizar el trinomio $ax^{2}+bx+c$ en la forma

Caso 2 Si $b^{2}-4ac<0$ .

En este caso las raíces de la ecuación $ax^{2}+bx+c=0$ no son reales, sino complejas, y la factorización

no sirve para resolver la desigualdad.

Para resolver la desigualdad en este caso procedemos de la siguiente forma:

Completando el cuadrado tenemos

Por lo tanto las desigualdades cuadráticas se transforman en su orden en

Como estamos suponiendo que

y sabemos que $b^{2}-4ac<0$ , las dos primeras desigualdades son válidas para todo número real y las dos últimas para ninguno.

Antes de indicar como se resuelven estas desigualdades, recordamos que las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^{2}+bx+c=0$ donde $a\neq 0$ son

Además, fácilmente se verifica que $r_{1}$ y $r_{2}$ satisfacen las siguientes relaciones

La última fórmula nos proporciona un método para factorizar cualquier trinomio de la forma $ax^{2}+bx+c$ en todos los casos posibles.

Ejemplo:

$3x^{2}-10x+2\leq 0$ .

En este caso

. Por lo tanto la ecuación $3x^{2}-10x+2=0$ tiene raíces reales que son

Luego la factorización de $3x^{2}-10x+2$ es

y la desigualdad original es equivalente a

Desigualdades de Valor Absoluto

Para poder trabajar este tipo de desigualdades, recordemos que el valor absoluto de un número real

, que representamos por $\left| x\right|$ , mediante

Al igual, recordemos que $\left| x\right|$ representa la distancia del origen al punto

, y de forma mas general que

representa la distancia entre $x_{1}$ y $x_{2}$ .

Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicación y la división, pero no así con respecto a la adición y la sustracción.

Propiedades del valor absoluto.

son números reales arbitrarios entonces

, $y\neq 0)$
(Desigualdad triangular)
y
La interpretación geométrica de $\left| x\right|$ nos proporciona una justificación de las siguientes dos propiedades
Sea $a\geq 0$ . Entonces
es equivalente a $-a\leq x\leq a$
es equivalente a $x\geq a$ o $x\leq -a$
Gráficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solución de desigualdades, es la siguiente
es equivalente a $x^{2}\leq y^{2}$